第一單元 集合與邏輯 推理與證明
本章知識結構
本章重點難點聚焦
重點：（1）與集合有關的基本概念和集合的“并”、“交”、“補”運算。
（2）全稱量詞、全稱命題、存在量詞、特稱命題等概念及應用。
（3）充分、必要、充要條件的意義，兩個命題充要條件的判斷。
（4）合情推理與演繹推理的概念和應用。
（5）直接證明與間接證明的基本方法。
難點：（1）有關集合的各個概念的含義以及這些概念之間的聯系。
（2）含有一個量詞的命題的否定。
（3）判斷充要條件時，區分命題條件和結論。
（4）運用合情推理與演繹推理解決問題。
（5）反證法的證明。
本章學習中注意的問題：
（1）在解答有關集合問題時，首先弄清代表元素，明確元素特點；當集合元素含有參數時，注意元素互異性；在集合運算中注意邊界點、臨界點及空集可能性。
（2）注意全稱命題，特稱命題的否定。
（3）研究充分條件，必要條件，充要條件時注意聯系命題，注意原命題與逆否命題的等價性。
（4）注意數形結合，分類討論，等價轉化等思想方法的運用。
本章高考分析及預測
（1）近幾年來，每年都有考查集合的題目，總體來說這部分試題有如下特點：一是基本題，難度不大;二是大都以選擇題、填空題形式出現，有時是解答題的一個步驟。對于集合的考查：一是考查對基本概念的認識和理解，二是對集合知識的應用。無論哪一種形式，都以其他基礎知識為載體，如方程（組）、不等式（組）的解集等。
（2）對于邏輯的考查主要考查四種形式的命題和充要條件，特別是充要條件，已經在許多省市的試卷中單獨出現，命題形式：一是原命題與逆否命題的等價性（含最簡單的反證法）;二是充要條件的判定。在考查基礎知識的同時，還考查命題轉換、推理能力和分析問題的能力以及一些數學思想方法的考查。
（3）推理在高考中雖然很少刻意去考查，但實際上對推理的考查無處不在，從近幾年的高考題來看，大部分題目主要考查命題轉換、邏輯分析和推理能力，證明是高考中常考的題型之一，對于反證法很少單獨命題，但是運用反證法分析問題、進行證題思路的判斷經常用到，有獨到之處。
（4）預計在2009年的高考中，集合部分的試題還將以選擇題或填空題的形式出現，主要考查集合語言與集合思想的運用，考查以集合為背景的應用性、開放性問題，命題將構思巧妙、獨特新穎、解法靈活；而對于命題的考查與其它知識相結合，因此基本概念和技能一定要落實好。
§1.1 集合 集合間的基本關系
新課標要求
1、了解集合的含義，元素與集合的“屬于關系”。
2、能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題。
3、理解集合之間的包含和相等的含義，能識別給定集合的子集。
4、在具體情景下，了解全集與空集的含義。
重點難點聚焦
重點：（1）集合的概念與表示。
（2）集合之間的基本關系。
難點：（1）集合元素的性質：確定性、互異性、無序性。
（2）元素與集合、集合與集合之間的關系以及符號
的應用。
（3）空集的特殊性。
高考分析及預測
集合是數學中最基本的概念之一，集合語言是現代數學的基本語言，因此集合的概念以及集合之間的關系是歷年高考的必考內容之一，本部分的考查一般有兩種形式：一是考查集合的相關概念，集合之間的關系，題型以選擇題、填空題為主；二是考查集合語言、集合思想的理解與應用，這多與其他知識融為一體，題型也是一般以選擇填空為主，單純的集合問題以解答題形式出出現的幾率較小，多是與函數、不等式等聯系。在復習中還要特別注意，新課標的中特別強調表達與描述同一問題的三種語言“自然語言、圖形語言、集合語言”之間的關系，因此要注意利用韋恩圖數軸函數圖象相結合的作用，另外集合新定義信息題在近幾年的命題中時有出現，注意研究。2009年是新課標命題第三年，預測在高考中部分會繼續保持穩定難度不會太大，命題形式會更加靈活新穎。
提組設計
再現型題組
1、填空
（1）下列說法中①全中國的大胖子，②小于100的所有質數，③幸福中學高三1班同學，④2008年北京奧運會的所有比賽項目，
以上四個說法不能組成集合的是
（2）集合A=
,則實數k的取值范圍是
2、選擇
（1）設全集U=R,集合M=
,N=
則下列關系中正確的是（
）
A、M=N B、
C、
D、
（2）給出如下關系式①
②
,③
④
⑤
⑥{a}
{a},其中正確的是（
）
A、①②④⑤ B、②③④⑤ C、②④⑤ D、②④⑤⑥
鞏固型題組
3.2008年第29屆奧運會在北京召開，現在三個實數的集合，既可以表示為
，也可以表示為
，則
。
4.已知集合
，則A,B,C之間的關系是
。
A. 
B. 
C. 
D.
5.設P,Q為兩個非空集合，定義集合
，若
則
中元素的個數是
。
A. 9 B.
6.記函數
的定義域為A, 
的定義域為B.
（1）求A.
（2）若
，求實數a的取值范圍.
提高型題組
7.已知
，求實數x.
8.已知集合
。
（1）若
求實數m的取值范圍.
(2).若
求實數m的取值范圍.
（3）若
求實數m的取值范圍.
反饋型題組
9.（08年江西）定義集合運算
，則集合
的所有元素之和為（ ）。
A . 0 B
10.設集合
，則正確的是（ ）
11.（08福建）設集合A=
,B=
,那么“
”是“
”的
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
12.已知集合A=
只有一個元素，則a=
13.已知集合
，集合
。
（1）若
,求實數a的取值范圍；
（2）若
,求實數a的取值范圍；
（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，試說明理由。
14.設A為實數集，滿足
,
,
(1)若
,求A;
(2)A能否為單元素集？若能把它求出來，若不能，說明理由；
（3）求證：若,則
15.已知集合
,集合
,
其中
,設全集I=R,欲使，求實數a的取值范圍。
§1.2集合的運算
新課標要求
（1）理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集。
（2）理解在給定集合中的一個子集的補集的含義。會求給定子集的補集。
（3）能使用韋恩圖表達集合的關系及運算。
重點難點聚焦
并集、交集、補集的含義，以及兩個集合之間并、交、補的運算
高考分析及對策
（1）以考查集合的并、交、補等運算為主，同時注重韋恩，數軸應用，求并、交、補等數形結合的思想的考查。
（2）本節在高考中常以選擇、填空題型考查，屬容易題。
題組設計
再現型題組
1.已知集合M=
則
為
A 
B 
C 
D
2 已知集合
,
,R是全集。
① 
② 
③
④
其中成立的是（ ）
A ①② B ③④ C ①②③ D ①②③④
鞏固形題組
3.設函數
的定義域M，函數
的定義域為N，求
（1）集合M，N
（2）集合,
4.（08湛江模擬）已知集合
，N為自然數集合，求
5.（07北京）已知集合
，
，若
，求a的取值范圍
提高型題租
6.（08廣東清遠）記函數的定義域為A，
，(a<1)的定義域為B
(1)求A
（2）若，求實數a的取值范圍
7.已知
,
且
求實數m的取值范圍
8.設全集是實數集R，
，
。
（1）當a=-4時，求
（2）若
，求實數a的取值范圍
反饋型題組
9.設全集U是實數集R，
,
,則圖中陰影部分所表示的集合是（
）
A. 
B.
C. 
D.
10.(08廣東興寧模擬)設數集
，
，M、N都是集合
的子集，如果把b-a叫做集合
的“長度”，那么集合的“長度”的最小值是
A. 
B. 
C. 
D. 
11.定義集合A*B=
,設
，
則集合A*B所有元素之和為
12.高三某班共有45人，摸底測驗數學20人得優，語文15人得優，兩門都不得優20人，則兩門都得優的人數
13.已知集合
，
（1）若,求實數a的取值范圍
(2)當a取使不等式
恒成立的最小值時，求
§1.3命題、基本邏輯連接詞與量詞
新課標要求：
1.了解命題及逆命題、否命題與逆否命題
2.了解邏輯連結詞“或”“且”“非”的含義。
3.理解全程量詞與存在量詞的意義。
4.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定。
5.學會運用等價轉化思想進行推理。
重點難點聚焦：
本節內容的重點是有關命題的概念及四種命題間的相互關系；邏輯聯結詞的含義及命題真假的判定；全稱量詞與存在量詞的有關概念。
本節內容的難點：是對含有一個量詞的命題的否定，含有邏輯聯結詞的命題的真假的判斷，以上是重點突破的內容。
高考分析及預測：
1.考查命題轉化，邏輯推理能力和分析問題，解決問題的能力。多以選擇題、填空題的形式出現。
2.全稱量詞與存在量詞作為新增內容，很有可能在選擇題，填空中出現。
題組設計
再現型題組：
1. 分別指出由下列命題構成的“
”，“
”“
”形式的命題的真假。
（1）p: 
, q: 
（2）p:1是奇數，q:1是質數
（3）p: 
q: 
（4）p: 
q:27不是質數
（5）p:不等式
的解集是
q:不等式的解集是
2. 寫出下列命題的否定，并判斷命題的否定的真假，指出命題的否定屬于全稱命題還是特稱命題：
（1）所有的有理數是實數。
（2）有的三角形是直角三角形
（3）每個二次函數的圖像都與Y軸相交
（4）
鞏固型題組
3. 如果命題“”是真命題，命題“ ”是假命題，那么（）
（A）命題p和命題q都是假命題
(B) 命題p和命題q都是真命題
(C) 命題p和命題非q真值不同
(D) 命題p和命題非q真值相同
4.已知
，設命題p:函數
在R上單調遞增；命題q:不等式
對
恒成立，若p且q為假，p或q為真，求a的取值范圍。
提高型題組
5設P:關于x的不等式
的解集是
,Q:函數
的定義域為R，如果P和Q有且僅有一個正確，求a的取值范圍.
6（2007年江蘇統考）下列命題中不正確的是（）
A. 
,有
是等差數列
B. 
，使是等差數列
C. 
，有是等差數列
D. 
，使是等差數列
反饋型題組：
7. 已知命題p: ，
則（ ）
A. 
: 
B. :
C. : 
D. :
8. 命題“存在
，使
”的否命題是（）
A.存在，使
>0
B. 不存在，使>0
C.對于任意都有
D. 對于任意都有>0
9. 命題“若ab=0，則a=0或b=
A.若
,則
或
B. 若或,則
C. 若,則且
D. 若且,則
10. 命題p:不等式
的解集為
，命題q:“A=B”是“sinA=sinB”成立的必要非充分條件，則（ ）
A．p真q假 B.“p且q”為真
C. “p或q”為假 D.p假q真
11. 與命題
“若
，則
”等價的命題是（）
A. 若
，則
B. 若，則
C若 則
D. 若則
12. 如果命題“
”為假命題，則（
）
A.p、q.均為真命題
B. p、q.均為假題
C..p、q.中至少有一個為真命題
D .p、q.中至多有一個為真命題
13. 已知命題p: 
，q: ，且 “p且q”與“非p”同時為假命題，求x的值。
§1.4充分條件，必要條件與四種命題
新課標要求
1.本節涉及到的主要基礎知識
（1）了解命題及其逆命題，否命題，逆否命題
（2）理解充分條件，必要條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關系
2.常用的數學思想方法
演繹法，特例法，轉化思想法
3.主要能力
運算能力和邏輯思維能力
重點難點聚焦
本節重點難點是四種命題的等價轉化和充分條件，必要條件，充要條件的判斷
高考分析和預測
近幾年的高考命題中，命題成立的充分，必要及充要條件的求解和判斷問題；四種命題的關系已成為高考命題的首選素材。一方面這類問題具有很深廣的開放性，另一方面命題的空間廣闊，可與多個知識點進行交匯，命題素材隨處可見。
題組設計
再現型題組
1.分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假。
（1）若
，則方程
有實根；
（2）若
，則
或
；
（3）若
，則
全為零
2.在下列各題中，判斷A是B的什么條件，并說明理由
（1）A: 
方程
有實根；
（2）A:圓
與直線
相切，B：
鞏固型題組
3.已知
：
，且是
的必要而不充分條件，求實數m的取值范圍。
4.下列命題：（1）“若xy=0則x,y中至少有一個為零”的否命題（2）
面積不相等的三角形不全等，（3）“若
，則
有實根”的逆否命題，（4）
是方程
表示直線的充分不必要條件，其中真命題有
提高型題組
5.分別寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，命題的否定，并判斷它們的真假：
（1）若
，則方程有實根；
（2）若都是奇數，則
是偶數；
（3）若
，則
或
；
（4）若，則全為0.
6.已知拋物線C: 
和點A（3，0），B(0,3).求證：拋物線C與線段AB有兩個不同的交點的充要條件是
反饋型題組
7（2007重慶）命題“若
，則
”的逆否命題是（
）
A.若
，則
，或
B.若，則
C.若 1、C 2、A 3、A
4、C 5、B 6、B
，或
，則
D.若
二、填空題
7、1
8、（2，3） 9、充分不必要 10
三、解答題
11、證明：假設
都不少于2，則
因為
，所以
，
即
，這與已知
相矛盾，故假設不成立
綜上中有一個小于2
12、解：P: 
Q：
（1）若P假Q真，則
（2）若P真Q假，則
所以
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